Wenn der Fernseher halbwegs modern ist (max. ~10 Jahre alt), kannst du einfach MiraCast unter Windows 10 am Laptop verwenden. Dafür brauchst du im Haus nicht mal WLAN, weil mit MiraCast eine Direktverbindung aufgebaut wird.
In diesem Fall würde das Ganze überhaupt nichts kosten, einfach Windowstaste + P drücken und unten auf den kleinen Link für Drahtlosverbindung klicken.